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L a teoría de la relatividad restringida o especial describe espacios vacíos sin masas, con la aplicación de una geometría plana tridimensional. Por su parte, la teoría de la relatividad general incluye el efecto de la gravedad de las masas, cuya distribución determina la curvatura de un espaciotiempo tetradimensional.

 

Con un exordio algo denso, vamos a comenzar el estudio de esta sección del capítulo, para posteriormente introducirnos en la temática de los espacios tetradimensional y curvo.

 

La teoría de la Relatividad General sostiene que la distribución de masas cercanas y lejanas determina el valor del intervalo espaciotiempo. Lo anterior, implica que debemos investigar cómo se desarrolla la geometría en el mundo físico. Obviamente, ésta se concreta por el intermedio de elementos geométricos, como líneas rectas, planos, esferas y otros. Con las rectas se construyen triángulos, cuadrados, polígonos, etc. Con los planos, se construyen cubos, paralelepípedos y así sucesivamente. Claro está, que eso es matemáticas, y aquí nos interesa distinguir los rasgos del mundo físico. Por lo tanto, las líneas rectas hay que construirlas físicamente, por medios experimentales. Por ejemplo, queremos construir una carretera absolutamente recta: ¿cómo lo hacemos? 0 recibimos luz de una estrella lejana: ¿siguió un camino recto?, ¿cómo lo sabemos? Pues bien, a través de la luz que es la herramienta que se utiliza para medir separaciones en el espaciotiempo, ya que es lo único que se extiende a través del espacio de manera sencilla, conocida e invariante.

 

Si queremos conocer la geometría del espacio físico tenemos que usar líneas. En el mundo «real» ellas son líneas físicas, dables por medio de experimentos, no líneas matemáticas, ideales. La cuestión es ¿cómo definir una recta en el mundo físico que no sea un haz de luz? En la práctica, de un modo u otro, siempre las líneas rectas físicas se definen por medio de rayos de luz. Cuando se apunta un rifle, se alinea su mira con el blanco, y ahí se pone la bala. Claro está, que los habitual es escuchar que las rectas se trazan con una regla. Pero, ¿qué es una regla? Es el borde de una superficie lisa y recta. Todo el mundo ha visto, más de una vez, a un carpintero cepillar una tabla: para ver si está derecha, le mira el canto. Así también se comprueba que una regla es realmente recta. Asimismo, para comprobar si un camino es derecho, uno se acerca al camino y lo mira. Los técnicos topógrafos usan teodolitos para mayor precisión. Como vemos, es siempre la luz la que se usa en último término y, por ello, hemos considerado conveniente señalar primero, un aspecto sobre la constancia de la velocidad de la luz, dado la influencia que ello genera en el tema central de esta sección.

 

Consideremos al espacio y al tiempo como definidos físicamente respecto de dos sistemas inerciales A y B y un rayo de luz que se propaga en el vacío desde un punto a otro de B. Si r es la distancia medida entre los dos puntos tendremos para un sistema en «reposo» r = c · dt , lo que con un incremento de t y, elevando al cuadrado ambos términos y expresando r2 mediante el teorema de Pitágoras aplicado a sus coordenadas, tenemos que :

[05.04.01]

(dx)² + (dy)² + (dz)² = c² (dt)²

y, por el principio de constancia de la velocidad de la luz, también deberá ocurrir lo mismo para un sistema inercial en «movimiento». Entonces tenemos:

[05.04.02]

(dx')² + (dy')² + (dz')² = c² (dt')²

A través de lo descrito, se pueden deducir, en una forma consistente con las dos expresiones, las transformaciones de Lorentz.

Ahora bien, y entrando al tema del espacio tetradimensional, en la teoría de la relatividad de Einstein, el espacio y el tiempo dejan su naturaleza independientes como en la física clásica, para mancomunarse en un solo concepto unificado: el espaciotiempo, en el que el tiempo constituye una cuarta dimensión. Para muchos, puede parecer que este concepto desborda el marco del sentido común que fija la naturaleza humana, pero en realidad no hay nada de misterioso en él. Si queremos describir la posición de un objeto, necesitamos un sistema de referencia y tres números, llamados coordenadas, porque el espacio tiene tres dimensiones. Por ejemplo, podemos localizar un objeto en los cielos si especificamos la longitud y la latitud del lugar donde se encuentra así como su altura sobre el nivel del mar; con estos tres datos se determina exactamente su posición con respecto al sistema de referencia que es la Tierra. Sin embargo, como el objeto se mueve, también conviene precisar en qué momento se encontraba en la posición indicada. Al especificar también el tiempo, estamos describiendo un suceso, algo que ocurre en un lugar dado (descrito por 3 coordenadas) y en un cierto instante (descrito por el tiempo). Nada nos impide interpretar formalmente el tiempo como una cuarta coordenada e introducir así, el concepto del espaciotiempo: un espacio de cuatro dimensiones, tres espaciales y una temporal. Un punto de ese espaciotiempo será un suceso, especificado por cuatro coordenadas.

 

Es posible que hasta aquí, se piense que el concepto de espaciotiempo no sea más que una especulación o trivialidad científica para sostener alguna idea teórica. Sin embargo, en el marco de la teoría de la relatividad cobra una estructura sorprendente cuando el matemático alemán Herman Minkowski, en su trabajo presentado en 1908, aborda el tema.

 

f-050401
Fig. 05.04.01.- Líneas rectas o curvas (espacios de una dimensión), vistas dentro de un espacio plano de dos dimensiones (una hoja de papel).

 

Para introducirnos a estudiar el espaciotiempo, primero hemos considerado recordar algunos conceptos que si bien son parte de la vida diaria, con el tiempo, su definición tiende a ser olvidada. En efecto, nuestro espacio normal, donde nos movemos en la práctica, lo percibimos con geometría plana. Lo denominamos plano porque en él se aplican los teoremas de la geometría elemental de Euclide, la misma que se aplica para un plano usual de dos dimensiones. Precisamente, porque ello representa a nuestro entorno habitual, fue que los griegos y otros pueblos de la antigüedad pudieron desarrollar la geometría elemental.
Los espacios más sencillos para ser distinguidos son los de una dimensión, o sea, líneas rectas o curvas (Fig. 05.04.01). Sólo con la intuición es factible distinguir algo recto de algo curvo. Pero ello lo podemos percibir así dado el hecho de que observamos la línea desde afuera de ella y la vemos recta o curva en el contexto de nuestra percepción del espacio normal de tres dimensiones. También, aprovechamos esta apreciación intuitiva para comprender la curvatura.

 

Ahora bien, una vez hechos esos recordatorios, sigamos nuestro estudio considerando un espacio de dos dimensiones: por ejemplo, una superficie plana. Podemos describir cualquier punto del plano si fijamos un sistema de referencia que, en el caso más simple, puede ser un par de ejes rectos perpendiculares entre sí. Dado un punto cualquiera, llamemos x a la distancia de ese punto al eje vertical y y a la distancia al eje horizontal (Fig. 05.04.02). Es obvio que si especificamos el valor de x y y, estamos determinando un punto: en este caso, x y y son las coordenadas. Sólo hay dos porque el espacio ahora considerado tiene dos dimensiones.

 

f-050402
Fig. 05.04.02.- La ubicación de un espacio en un plano con respecto a un sistema de referencia se determina por medio de dos coordenadas x y y.

 

 

Densifiquemos ahora matemáticamente lo expresado. Tomemos dos puntos con las siguiente coordenadas, el primero, con (x, y) y, el segundo con (x + dx, y + dy). En seguida, denominamos como ds la distancia entre esos dos puntos, entonces, según el teorema de Pitágoras, el cuadrado de esa distancia está dado por la fórmula:

[05.04.03]

ds² = dx² + dy² ,

como lo podemos observar en la Fig.05.04.03

f-050403
Fig. 05.04.03.- La distancia entre dos puntos se determina con la correspondiente fórmula de medición para distancias.

Por otro lado, también el desarrollo anterior puede ser extendido a un espacio tridimensional, para ello, se necesitan tres coordenadas x, y, z para precisar un punto (Fig. 05.04.04). El cuadrado de la distancia entre el sitio con coordenadas (x, y, z) y el sitio con coordenadas (x + dx, y + dy, z + dz) es:

[05.04.04]

ds² = dx² + dy² + dz²

 

f-050404
Fig. 05.04.04.- En el espacio tridimensionalde, se necesitan tres coordenadas (x, y, z) para determinar la posición de un lugar con respecto a un sistema de coordenadas. .

 

Retomemos aquí al espaciotiempo tetradimensional. De las consideraciones anteriores podemos llegar al verdadero elemento que lleva a la determinación del espaciotiempo, ya que se puede describir un suceso con cuatro coordenadas: x , y, z, t; las tres primeras determinan la posición del suceso y la última fija el momento en que ocurrió. Por otro lado, en la teoría de la relatividad, se puede definir una distancia aparente (al cuadrado) entre dos sucesos con coordenadas (x, y, z, t) y (x + dx, y + dy, z + dz, t + dt) de acuerdo con la fórmula:

[05.04.05]

ds² = dx² + dy² + dz² - c² dt² ,

donde c es la velocidad de la luz.

Se preguntaran Uds. por qué el signo negativo frente al último término. La respuesta es que la distancia entre dos puntos debe poseer una propiedad fundamental: ser invariante con respecto a cambios del sistema de referencia usado. Una barra no cambia su longitud real porque la miremos de lado, de frente o de canto. En el caso del espaciotiempo, la distancia aparente definida arriba tiene una propiedad fundamental: es invariante al pasar de un sistema de referencia a otro. Si consideramos dos sucesos S y S' que ocurren uno después del otro, la distancia aparente entre ellos no depende de quién los mida –del mismo modo que la distancia entre las puntas de una barra es invariante–. La interpretación física de la distancia aparente es muy simple: supongamos que un observador se mueve a una velocidad constante de tal modo que, para él, los dos sucesos S y S' ocurren en el mismo lugar; el tiempo que mide entre esos dos sucesos es precisamente la distancia aparente entre ellos: este es el tiempo propio entre S y S' y, así, lo llamaremos de ahora en adelante, en lugar de distancia aparente. El tiempo propio es un invariante en el espaciotiempo y es una cantidad perfectamente bien definida. La relatividad no excluye la posibilidad de determinar, en forma única, el tiempo propio medido por un observador, en contra de lo que a veces se entiende, erróneamente, por la palabra relatividad.

Por otra parte, el espaciotiempo en el que las «distancias», o tiempos propios, se miden aplicando la siguiente fórmula:

[05.04.05]

ds² = dx² + dy² + dz² - c² dt²

Aquí, hemos llegado a lo que se llama espacio de Minkowski, en el cual el suceso estatuido por las cuatro coordenadas x, y, z y t, puede ser considerado como un acontecimiento que ocurre en el espacio continuo tetradimensional.

Por ello fue que, Hermann Minkowsky, con el objeto de facilitar su trabajo con las ecuaciones de la relatividad restringida, procedió a asignar a toda coyuntura matemática, una cuarta dimensión perpendicular a las otras tres y de componente imaginaria, cuyo valor sería ict, siendo i la componente imaginaria procedente de la raíz cuadrada de -1. Así se tiene que un diferencial de espaciotiempo entre dos sucesos ds sería como sigue:

[05.04.06]

(ds)² = (dx)² + (dy)² + (dz)² + (dw)²,

siendo w = cti , lo que da 4 ejes de coordenadas de tipo cartesiano, en lo cual se puede aplicar el teorema de Pitágoras sin problemas.

Ahora, si se cambia de sistema de referencia se tiene

 

(ds')² = (dx')² + (dy')² + (dz')² + (dw')²,

la que debe ser igual a [05.04.06], ya que la longitud de un vector es idéntica para todo sistema de referencia.

Podemos ilustrarnos esta igualdad de longitudes, imaginándonos un sistema de coordenadas XY y a un segmento en ese sistema. Luego, movamos o giremos el sistema normal de coordenadas dejando quieto el segmento. El resultado que podemos determinar es que, el segmento sigue siendo de la misma longitud, simplemente ha cambiado de posición respecto al sistema de coordenadas. Por ello, es que la fórmula para medir longitudes y distancias tiene un papel fundamental en la teoría de relatividad.

Señalemos además, que Einstein, en la formulación de su teoría, adopto el modelo espaciotiempo de Minkowsky, dado que en su métrica la expresión matemática (ds)² = (ds')² se cumple perfectamente para la transformación de Lorentz.

Hasta aquí, hemos hecho una introducción para describir al tiempo como una cuarta dimensión, apareciendo con ello el mundo de los cuadrivectores, siendo un cuadrivector de un suceso un vector de 4 coordenadas (x , y , z , cti) que pueden ser utilizados y transformados mediante operaciones, lo cual veremos más adelante.

 

Siguiendo con lo programado para esta sección, nos corresponde ahora desarrollar un proemio sobre la curvatura del espaciotiempo.

 

f-050405
Fig. 05.04.05.- Cuando vemos en la noche la luz de una estrella, su trayectoria pasa lejos del Sol.

 

En el marco de la naturaleza humana, no es anormal pensar que la luz se propaga en línea recta. Cuando orientamos nuestra visión hacia un objeto muy lejano, como una estrella, pensamos que su dirección es la del punto donde la vemos, o sea, del cual percibimos el rayo de luz. Pero, sólo mirándola, no tenemos forma de saber si la luz que nos llega sigue una línea recta o curva. Si el rayo se curvara, la posición real de la estrella sería diferente de la dirección en que «la vemos», es decir, desde donde parece que la luz sale al momento de percibirla. El caso de los espejismos es muy conocido, donde el aire se comporta como una lente por efectos de cambios en su densidad provocados por las fuertes temperaturas del desierto, desviando los rayos provenientes de objetos lejanos. La persona que sufre el espejismo cree que el objeto está donde «ella lo ve».

 

En consecuencia, para definir una línea recta física no se cuenta con otro elemento mas que la luz. Claro está, que ello no quita, que «las rectas» seguidas por sus rayos pueden ser curvas. En otras palabras, estamos hablando del mundo físico real. Las líneas más rectas son aquellas de menor distancia entre dos puntos, que en el espacio físico pueden ser curvas, lo que implica que el espacio mismo es curvo: tiene una curvatura intrínseca que causa que las líneas más cortas entre dos puntos, aquellas «más rectas», sean en realidad curvas.

 

Einstein, desafiando una vez más el sentido común, cuando publicó la versión definitiva de la teoría de la relatividad general, en 1916, predijo que las trayectorias de la luz pueden seguir líneas curvas y no caminos rectos. Cuando pasa cerca de un cuerpo con mucha masa que altera la geometría del espacio a su alrededor, la luz sigue el camino más recto posible, el que resulta ser más o menos curvo, dependiendo del efecto en el espacio inducido por el cuerpo. Expresado en otras palabras, propugnó que el espacio es curvo y la gravedad es la manifestación de esa curvatura.

 

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Fig. 05.04.06.- La región correspondiente del cielo muestra muchas estrellas. En el centro se representa la posición del Sol en el instante de un posible eclipse total.

 

En la formulación de la teoría general de la relatividad Einstein predijo la desviación que sufre el rayo de luz al pasar por el borde del Sol. Nuestra estrella es el único cuerpo suficientemente masivo cercano a la Tierra y que se presta para realizar el experimento. Algunos años antes, trabajando tras la búsqueda de una equivalencia entre aceleración y gravedad con todo el esquema matemático de la teoría, calculó una desviación de la luz estelar igual a 1,7” de arco. Ese valor resultó ser ser inferior a la magnitud calculada en el marco de la relatividad general, que incluía el efecto de la curvatura del espaciotiempo. Observar un rayo de luz que pasa por el borde del Sol es difícil porque de día su intensidad nos deslumbra, impidiéndonos ver otros objetos celestes. La solución es medir estrellas cercanas a su posición durante un eclipse solar total, cuando la Luna lo oculta completamente. En este experimento, se miden las posiciones y separaciones relativas entre varias estrellas ubicadas muy cerca del Sol en el instante del eclipse, las que se comparan con sus posiciones usuales cuando sus rayos no sufren desviación. Como la Tierra gira alrededor del Sol en un año, meses después del eclipse esas mismas estrellas son visibles en la noche, cuando sus rayos pasan lejos de él (Fig. 05.04.06), propagándose en línea recta entre ellas y nosotros.

 

Un experimento, organizado por una expedición argentina al eclipse solar de Brasil de 1912, abortó debido a la lluvia que se precipitó en el lugar de observación, y un esfuerzo alemán en 1914 fue cancelado por el estallido de la Primera Guerra Mundial, dado que las preocupaciones de la gente tenían que ver con materias más contingentes que la ciencia. Lo anterior, fue afortunado para la reputación de Einstein.

 

Mientras tanto, aunque la guerra había alterado las comunicaciones en Europa, las noticias del trabajo de Einstein se habían difundido rápidamente. El físico –que se había hecho ciudadano suizo en 1901– tenía amigos y admiradores en la comunidad científica europea. A finales de 1916, y gracias a la intervención del astrónomo Willem de Sitter, fue publicado uno de los ensayos sobre la relatividad general de Einstein en el periódico de la Royal Astronomical Society. El secretario de la sociedad, responsable de hallar revisores para los artículos, era Arthur Eddington de la Universidad de Cambridge, un destacado astrofísico. En esos tiempo, la investigación alemana era objeto de desdén y declarada hostilidad entre los científicos británicos, pero Eddington, cuáquero y pacifista, no compartía este prejuicio. Se encargó él personalmente de realizar una honesta lectura del ensayo.

 

Eddington-Einstein











En una pose muy relajada en el jardín de Eddington, Einstein comparte un banco, en 1930, con su colega inglés . Doce años antes, Eddington escribió el primer informe en inglés sobre la teoría general de la relatividad.
Las matemáticas en las cuales se soportaba la teoría, no era una tarea fácil de asumir. Cuando Eddington terminó, manifestó a sus pares, que la relatividad general «reclama atención como uno de los más hermosos ejemplos del poder del razonamiento matemático general». En un acto que pocos tienden a emitar, dejó a un lado por un tiempo sus propias investigaciones para explicar, promocionar y defender las ideas de un científico que en esos años trabajaba en un país enemigo del suyo.

 

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Fig. 05.04.07.- Luz de una estrella vista durante un eclipse de Sol. La luz es atraída al pasar cerca del borde del astro.

 

A esa postura de Eddington, pronto se adhirió el astrónomo real británico Frank Dyson y desarrollaron planes para una expedición al próximo eclipse para probar la teoría. El eclipse total ocurrió el 29 de mayo de 1919, cuando el Sol pasaba frente a las Híadas y su observación era posible en zonas ecuatoriales. Para evitar que el mal tiempo pudiera anular el experimento, las observaciones fueron hechas por un equipo en la pequeña isla Príncipe, en la costa oeste de África, encabezado por Eddington y otro en Brasil dirigido por Dyson. Comparando las posiciones relativas medidas durante el eclipse con aquellas usuales, se constató que las imágenes de las estrellas más cercanas al Sol están ligeramente desplazadas con respecto a sus posiciones normales (Fig. 05.04.07). Ambos grupos de astrónomos midieron valores similares, correspondientes a una pequeña desviación de la luz de 1,75” de arco, para estrellas ubicadas en el borde aparente del Sol.

 

El 6 de noviembre de 1919, Dyson lo hizo oficial en un informe público a la Royal Society de Londres. En un mundo hastiado y muy afectado por la guerra, la ciencia ofrecía a la humanidad una nueva y sorprendente forma de estudiar el universo. Albert Einstein se convirtió, en expresiones del New York Times, en «el repentinamente famoso doctor Einstein».

 

Este experimento es importantísimo porque muestra que las únicas «rectas físicas» utilizables pueden ser, en realidad, curvas. Pero, ¿cómo sabemos que una línea es una curva? Bueno, si no hay una comparación directa, es muy difícil hacerlo, aunque hay métodos, como veremos más adelante.
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